ポーカーをしたことがある方は、
こんなことを思ったことはありませんか？

今回はそんな疑問を数学的に解説していきましょう。

ポーカーの役と確率

では、それぞれの役が成立する確率を、
役の強さが強い順に求めてみましょう。

じん

ただし、JOKERやカード交換を含むと、
考慮が複雑になるので…

トランプはジョーカーを除く52枚だけ。
求める確率は「最初に配られた5枚で役が揃う確率」とします。

はじめに、52枚の中から5枚配られる組み合わせ総数は、

$$ {}_{52} C_5 =2598960 $$

2598960通りとなります。

ロイヤルストレートフラッシュ

ロイヤルストレートフラッシュは、
同じマークで、かつ「10, J, Q, K, A」からなる役です。

これは、1つのマークにつき1組しかありえないので、
ロイヤルストレートフラッシュの出現確率は、

$$ \frac{4}{2598960} = \frac{1}{649740} $$

つまり、約0.00015%となります。

ストレートフラッシュ

ストレートフラッシュは、
同じマークで、かつ連続した数字5枚からなる役です。

連続した数字はロイヤルストレートフラッシュを除き、
「A, 2, 3, 4, 5」から「9, 10, J, Q, K」まで9通り。

これが4つのマークであるので、ストレートフラッシュの出現確率は、

$$ \frac{36}{2598960} = \frac{3}{216580} $$

つまり、約0.0014%となります。

フォーカード

フォーカードは、同じ数字が4枚と、その他1枚からなる役です。

同じ4枚の組み合わせは、A～Kまでの13通りがあり、
その他1枚はそれ以外の48枚から選ばれるので、

$$ 13×48＝624 $$

624通りあります。

よって、フォーカードの出現確率は、

$$ \frac{624}{2598960} = \frac{1}{4165} $$

つまり、約0.024%となります。

フルハウス

フルハウスは、同じ数字3枚と、同じ数字2枚からなる役です。

上の例で考えると、
4枚のKから3枚と、4枚のQから2枚選ぶ場合の数は、

$$ {}_{4} C_3 × {}_{4} C_2=24 $$

24通りになります。

KとQを使って、逆にQが3枚と、Kが2枚の組み合わせもあるので、
同じ数字を使った組み合わせは48通りになります。

最後に13枚の中から2種類の数字を選ぶ組み合わせは、

$$ {}_{13} C_2=78 $$

78通りなので、フルハウスの出現確率は、

$$ \frac{48×78}{2598960} = \frac{6}{4165} $$

つまり、約0.14%となります。

フラッシュ

フラッシュは、同じマーク5枚からなる役です。

1つのマークが13枚あるので、その中から5枚選ぶ組み合わせは、

$$ {}_{13} C_5=1287 $$

1287通り。

これが4つのマークでありえるので、
4倍して全部で5148通りとなります。

ただし、この中には
「ロイヤルストレートフラッシュ」
「ストレートフラッシュ」
も含まれているので、これを除くと、

$$ 5148-4-36=5108 $$

5108通りなので、フラッシュの出現確率は、

$$ \frac{5108}{2598960} = \frac{1277}{649740} $$

つまり、約0.2%となります。

ストレート

ストレートは、連続した数字5枚からなる役です。

上の例で考えると、
4つのマークのA、2、3、4、5からそれぞれ1枚選ぶ組み合わせは、

$$ 4^5=1024 $$

1024通り。

これをAから始まるものから10から始まるものまでを考えるので、

$$ 1024×10=10240 $$

10240通り。

ただし、この中には
「ロイヤルストレートフラッシュ」
「ストレートフラッシュ」
も含まれているので、これを除くと、

$$ 10240-4-36=10200 $$

10200通りなので、フラッシュの出現確率は、

$$ \frac{10200}{2598960} = \frac{5}{1274} $$

つまり、約0.39%となります。

スリーカード

スリーカードは、同じ数字3枚と、他の数字2枚からなる役です。

同じ数字の4枚の中から3枚選び、
それ以外の48枚から2枚を選ぶ組み合わせは、

$$ {}_{4} C_3 × {}_{48} C_2=4512 $$

4512通り。

これが13枚の数字であり得るので、

$$ 4512×13＝58656 $$

ただし、この中には
「フルハウス」も含まれているので、これを除くと、

$$ 58656-3744=54912 $$

54912通りなので、スリーカードの出現確率は、

$$ \frac{54912}{2598960} = \frac{88}{4165} $$

つまり、約2.11%となります。

ツーペア

ツーペアは、同じ数字2枚のペアが2セットと、他の数字1枚からなる役です。

4枚ある数字の中から2枚選ぶのを2回、
その数字以外の44枚から1枚選ぶ組み合わせは、

$$ {}_{4} C_2 × {}_{4} C_2 × 44=1584 $$

1584通り。

2つのペアは、13枚ある数字の中から2種類を選ぶので、
ツーペアの組み合わせの数は、

$$ {}_{13} C_2 × 1584=123552 $$

123552通りなので、ツーペアの出現確率は、

$$ \frac{123552}{2598960} = \frac{198}{4165} $$

つまり、約4.75％となります。

ワンペア

ワンペアは、同じ数字2枚のペアが1セットと、他の数字3枚からなる役です。

4枚ある数字の中から2枚選び、
その数字以外の48枚から1枚選び、
さらにその数字以外の44枚から1枚選び、
さらにその数字以外の40枚から1枚選ぶ組み合わせは、

$$ {}_{4} C_2 × 48 × 44 × 40=506880 $$

506880通り。

ただし、ペアになる数字は13枚あり、
ペアでないカードの順序は無視してよいので、
※（2, 3, 4）（2, 4, 3）（3, 2, 4）（3, 4, 2）（4, 2, 3）（4, 3, 2）は同じ。

ワンペアの組み合わせの数は、

$$ 506880 × 13 ÷ 3! = 1098240 $$

1098240通りなので、ワンペアの出現確率は、

$$ \frac{1098240}{2598960} = \frac{352}{833} $$

つまり、約42.3％となります。

ノーペア

ノーペアは、上記のどの役も揃っていない状態です。

つまり、ノーペアの組み合わせ数は、
組み合わせ総数から全役の組み合わせ数を引いて、1302540通り。

よって、ノーペアの出現確率は、

$$ \frac{1302540}{2598960} = \frac{1277}{2548} $$

つまり、約50.1％となります。

まとめ

結果はこの通り。

・ロイヤルストレートフラッシュ
　　　　　　　：約0.00015%
・ストレートフラッシュ
　　　　　　　：約0.0014%
・フォーカード：約0.024%
・フルハウス　：約0.14%
・フラッシュ　：約0.2%
・ストレート　：約0.39%
・スリーカード：約2.11%
・ツーペア　　：約4.75%
・ワンペア　　：約42.3%
・ノーペア　　：約50.1%

配られた時点での組み合わせに関しては、
全ての役が出現確率順に並んでいることが分かりました。

ただし、実際は数ターンのカード交換があるため、
「フルハウス」はペアをキープした状態で狙えるのに対して、
「ストレート」はペアを解消する必要があったりと、
手持ちの数やマークによって戦術は大きく変わってきます。

じん

数学的な確率と運のバランスが、
ポーカーの醍醐味かもしれませんね！

最上段と2段目以降は両端に「1」を、
それ以外は上の段の左右の数の和を置くことで、
「パスカルの三角形」は無限に生成されます。

当記事では、
「パスカルの三角形に隠された不思議とその魅力」
を紹介します！

パスカルの三角形の各行を見ると…

まず、パスカルの三角形の各行の和を求めてみると、

2の累乗がきれいに順番通り表れます。

また、各行の数を十進法展開してあげると、

11の累乗がきれいに順番通り表れます。

※十進法展開とは、例えば、
3行目だと「1×100+2×10+1×1」=121
4行目だと「1×1000+3×100+3×10+1×1」=1331

また各行は、二項展開の係数にも対応しています。

パスカルの三角形を斜めに見ると…

次に、斜め並んだ数字に注目してあげると、
1番外側の列は、すべて「1」になっています。

そして、その次の列には「自然数」が順番通りに並んでいます。

さらに、その次の列には「三角数」が順番通りに並んでいます。

※三角数とは、正三角形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数のこと。

さらに、その次の列には「正四面体数」が順番通りに並んでいます。

※正四面体数とは、正四面体の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数のこと。

パスカルの三角形の奇数を塗りつぶすと…

パスカルの三角形の「奇数」を黒く塗ると、
無数の三角形が規則的に並んだきれいな図形が得られます。

これは、フラクタル図形の1種であり、
シェルピンスキーの三角形とも呼ばれています。

パスカルの三角形で確率を求める

ここまで「パスカルの三角形」の性質を紹介してきましたが、
この三角形はただただ美しいだけではありません。

例えば、7人の中から3人を無作為に選ぶ必要がある場合。

その組み合わせは、7C3を計算すれば求めることができますが、
なんと、パスカルの三角形を使えば…

計算せずとも、最上列から7列目の3つ隣の数が、
そのまま組み合わせの数になっています！

また、もしあなたが結婚をして、子供が5人。
しかも、男の子が2人と女の子が3人欲しいと思った場合。

その確率は、パスカルの三角形の、
最上列から5列目の2つ隣の数を列の合計で割ってあげると、
簡単に求めることができてしまいます。

このようにパスカルの三角形は、
数々の性質をもって多くの数学者を魅了し、
現在も新たな性質の解明に向けて研究されている分野の1つです。

もしあなたもこの三角形に魅了されたのであれば、
次のふしぎを発見するのは、あなたかもしれません。

おわりに

ということで、当記事では、
「パスカルの三角形に隠された不思議とその魅力」
を紹介しました！

他にも、当サイトおよび、YouTube「好きになる数学」では、
数学力や論理力が楽しく自然と身につく動画を投稿しています。

好きになる数学

【チャンネル概要】数学の魅力や面白さを伝えるチャンネル。数学の知識や考え方が楽しく自然と身につく動画を投稿しています。【動画投稿】毎週金曜 19時※投稿されない...

www.youtube.com

よければ他の気になる記事や動画もご覧ください！

じん

私は好きです。

…とはいえ、好き！と答える人は、
少ないのが現実かと思っています。

ということでこの記事では、

・数学の何が面白いの？
・数学が好きな子はどうすれば育つの？

といった疑問のヒントとして、
「私が数学を好きになった理由」をお話します！

数字と仲良くなるには

数学が嫌いな人の中には、
「数字すら見たくない！」
といった過激派の方もちらほら。

何を隠そう、私の母もそのひとりです。

その息子が数学科に進学するのですから、
数学好きに遺伝は関係なさそうですね。

むしろ母は、自分が数学嫌いだからこそ、
子供は数学嫌いにさせたくなかったようです。

そんな母が、幼少期の私に促した、
数字と仲良くさせる方法をいくつか紹介します。

ドナルドの算数マジック

今でも話の流れを覚えているくらいには、
小さい頃に何百回と繰り返し観ていたビデオです。

簡単なあらすじとしては、

数の魔法の国に迷い込んだドナルドが、
様々なゲームを通じて、楽しく愉快に、
「数の魅力」を発見していく物語です。

ディズニーならではの壮大な音楽と怒涛の展開で、
数学に関係なく魅了された記憶があります。

じん

当人は勉強させられているとは知らず、

ただただ楽しんで観ていました。

これが数学好きのきっかけなのかは分かりませんが、
私が数学に触れた第一歩であることは間違いありません。

ナンプレ・数独

皆さんは、
「ナンプレ・数独」
で遊んだことはありますか？

私は、小学校低学年の頃に初めて挑戦し、
そこから、何冊もナンプレ雑誌を買ってもらうほど、
どハマりしていました。

今でもアプリやナンプレ雑誌を買い、
高難易度の問題を解くこともあります。

ナンプレで遊ぶことは、数学とは関係ないですが、
数字を使って論理的にパズルを解く習慣が、
数字への抵抗感を無くしてくれた気がします。

10パズル（テンパズル）

小学生の頃から、登下校の際に、
車のナンバープレートの数字を、
四則演算で10にするゲームをしていました。

例えば、ナンバーが「1, 2, 3, 4」であれば、

すべての数の和「1+2+3+4」は「10」

になりますし、他にも、

「1×2×3+4」も「10」

になります。

この遊びは「10（テン）パズル」と呼ばれ、
ルールも様々なものがありますが、私は、

・数字の順番は入れ替え可能。
（上の例だと「3×4－1×2」はOK！）
・数字の合体は禁止。
（上の例だと、「14÷2+3」は禁止！）

というルールを守って遊んでいました。

じん

今でも車の運転中（特に渋滞時）は、

周りの車のナンバーで遊んでいます。

これまで数多くの10パズルを解いてきましたが、
私が一番美しい、かつ難しいと思う問題はこちら！

1, 1, 9, 9

この機会にぜひチャレンジしてみてください！
※解答はこの記事の最後にあります。

最後に

今回は「私が数学を好きになった理由」として、
私の幼少期の3つの思い出を紹介しました。

どれも私自身は「楽しめていた」ことも重要で、
嫌がっている子にも無理やりやらせるのは、
かえって悪影響になりかねません。

ひとりひとりに合う教育があるはずなので、
それぞれの興味や関心を考慮したうえで、
色々試してみてはいかがでしょうか。

※10パズル「1, 1, 9, 9」答え

( 1 + 1 ÷ 9 ) × 9 = 10

について、紹介したいと思います。

素数について

まずは「素数」について、
正確な定義からおさらいしていきましょう。

「素数」とは、
正の約数が1とその数自身のみである自然数。

簡単に言えば、
正の約数を2つしか持たない自然数です。

具体的には、以下の通り。

「1」約数：1　→　素数ではない
「2」約数：1, 2　→　素数
「3」約数：1, 3　→　素数
「4」約数：1, 2, 4　→　素数ではない
「5」約数：1, 5　→　素数
「6」約数：1, 2, 3, 6　→　素数ではない
「7」約数：1, 7　→　素数
「8」約数：1, 2, 4, 8　→　素数ではない
…

「1」は約数が1つしかないため、
素数ではありません。

また、「4, 6, 8」は約数が3つ以上あるため、
素数ではありません。

背理法について

では次に、数学の証明方法の一つである、
「背理法」について紹介します。

「背理法」とは、ある命題が、
正しくないと仮定して矛盾を導くことで、
もとの命題が正しいことを証明する方法。

例えば、「猫が犬でないこと」
を背理法で証明すると…

①「猫が犬である」と仮定する。
②犬は「わんわん」と鳴くが、
　猫は「わんわん」と鳴かない。
③よって「猫が犬である」
　という仮定に矛盾が生じる。
④よって「猫は犬ではない」。

じん

少し強引な例ですが…

イメージとしてはこんな感じ！

このような方法を「背理法」といいます。

【証明】素数は無限に存在する

それでは本題の、
＜素数が無限に存在することの証明＞
を紹介したいと思います。

—（証明）—

背理法を用いるので、
＜素数が無限に存在しない＞

つまり、
＜素数が有限個(ｎ個)しか存在しない＞

と仮定して矛盾を導いていきます。

このｎ個の素数を、
　P1、P2、P3、…、Pn
と名付けておきます。

じん

このあとの証明の流れは…

いま、この世界には、
「P1～Pn のｎ個の素数しかない」
と仮定したので、

「P1～Pn 以外の素数が存在すること」
を見つけてあげれば、

仮定が間違っていたことになり、
素数が無限に存在することを証明できます。

ここで、
P1～Pn までをかけ合わせた数に1を足した数
を「Q（※）」とします。

※ Q ＝ ( P1 × P2 × P3 × … × Pn ) ＋ 1

すると「Q」は、
P1～Pn のどの数でも割り切ることができません。

じん

もう少し詳しく説明します！

P1～Pn までをかけ合わせた数

（ P1 × P2 × P3 × … × Pn ）

は、P1～Pn の倍数なので、
P1～Pn のどの数でも割り切ることができます。

ただ、「Q」はそこに1を足しているので、
P1～Pn のどの数でも割り切ることができない、
ということになります。

よって、この「Q」という数は、
1とQでしか割り切れない数。

つまり、「Q」は P1～Pn 以外の素数
ということになります。

ゆえに、仮定が間違っていたことになるので、
素数は無限に存在することが証明されました。

おわりに

いかがでしたでしょうか？
非常にシンプルで個人的に好きな証明のひとつです。

※この記事の内容は、動画でも解説しています。
▼YouTube「好きになる数学」ch

ちなみにこの背理法による証明は、
紀元前にユークリッドにより発見されたといわれています。

素数が無限に存在することの「証明」は、
この方法以外にもいくつかありますので、
興味がある方はぜひ調べてみてください！

くらいまでは目にすることもあるかと思いますが、
それより大きい数字の桁をご存じでしょうか。

この記事では、
「数字の桁の読み方（命数法）」
について、まとめて紹介します！

数字の桁まとめ

日本でもっとも一般的な数字の桁の読み方は、以下の通りです。

仏典の数詞まとめ

一般的には使われませんが、仏教の経典には、
「無量大数」より大きな数詞も定義されています。

仏典『華厳経（八十華厳）』第45巻「阿僧祇品第三十」
での数字の桁の読み方は、以下の通りです。

また、『華厳経（六十華厳）』第29巻「心王菩薩問阿僧祇品第二十五」
には、上記の命数法とは異なる命数が記述されています。

※10¹⁰ 以上を上数として「121」の命数が列挙されている。
（ 10¹⁰ 、10^10×2 ～ 10^10×2120 ）

さらに、
『華厳経（四十華厳）』第10巻「入不思議解脱境界普賢行願品」
にも、上記の命数法とは異なる命数が記述されています。

※10⁷ 以上を上数として「144」の命数が列挙されている。
（ 10⁵ 、10⁷ 、10^7×2 ～ 10^7×2142 ）

おまけ

以前、クイズ番組で、
「漢数字を含む都道府県を全て答えよ。」
という問題がありました。

出題者の意図としては、
「三」を含んだ三重県と、「千」を含んだ千葉県
が答えだったと思うのですが…

じん

「京」を含んだ、

東京都と京都府がない！

と、ネットでプチ炎上していたのが、
当時とても印象的でした。

個人的には「一京」は数字だけど、
「京」単体は数字ではないかなぁと感じます。

皆さんはどう思いますか？

・「Ⅸ」は 9？ 11？
・20以上の数を「ローマ数字」でどう表すの？

ということで、今回は、
意外と知らない「ローマ数字」について、
簡単に解説していきます。

「ローマ数字」とは

あらためて「ローマ数字」とは、
順序や番号を表すのに用いられることが多い数で、

・「○○Ⅱ」など、映画やゲームのタイトル
・「数学Ⅰ・Ⅱ」などの科目名

によく使われています。

また「ローマ数字」は、
1から3999までの数を表すことができ、
基本的には、4000 以上の数は表せません。

では「ローマ数字」は、
どのような規則で表されているのかについて、
解説していきます。

「ローマ数字」の種類

まず「ローマ数字」には、
基本となる数字が “7種類” あります。

それが、アラビア数字の
「1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000」
に対応している、

「Ⅰ, V, X, L, C, D, M」の7種類です。

そして、これら以外の数は、
上記の数字を足し引きすることで表します。

「ローマ数字」の基本ルール（足し算）

では、まずは足し算の表し方について。

ローマ数字は基本的には、
7種類の数字を大きい順に並べることで表していきます。

例えば、ローマ数字で「2」を表したい場合は、
1を表す「Ⅰ」を2回足し合わせればいいので、
「Ⅰ」を2つ並べて「Ⅱ」とすることで「1+1(=2)」を表します。

同様に、ローマ数字で「3」を表したい場合は、
1を表す「Ⅰ」を3回足し合わせればいいので、
「Ⅰ」を3つ並べて「Ⅲ」とすることで「1+1+1(=3)」を表します。

また、
少し飛ばしてローマ数字で「6」を表したい場合は、
5を表す「Ⅴ」と、1を表す「Ⅰ」を、
足し合わせればいいので、
「Ⅴ」と「Ⅰ」を大きい順に並べて「Ⅵ」とすることで「5+1(=6)」を表します。

「ローマ数字」の特殊ルール（引き算）

ただし、
「ローマ数字」で【4】と【9】を表す場合は、
基本ルールとは違い、引き算を使って表します。

では、どのように引き算を表すかと言うと…

大きい数字の左隣に小さい数字を並べることで引き算を表してあげます。

例えば、ローマ数字で「4」を表したい場合は、
基本となる数字「Ⅰ」を4回足し合わせるのではなく…

5を表す「Ⅴ」から、1を表す「Ⅰ」を引き算するように表したいので、
「Ⅴ」の左隣に「Ⅰ」を並べて、「Ⅳ」とすることで「5-1(=4)」を表します。

同様に、ローマ数字で「9」を表したい場合は、
10を表す「Ⅹ」から、1を表す「Ⅰ」を引き算するように表したいので、
「Ⅹ」の左隣に「Ⅰ」を並べて、「Ⅸ」とすることで「10-1(=9)」を表します。